Question

19．设函数f（x）=x²-2lnx
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值和最小值；
（III）若关于x的方程f（x）=x²-x-a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值即可；
（Ⅲ）方程f（x）=x²-x-a变形为x-2lnx-a=0，令g（x）=x-2lnx-a（x＞0），利用数形结合的思想，要求g（x）在区间[1，3]上恰好有两个相异的零点．通过g（x）的单调性及最值，极值求解．

解答 解：（I）由函数f（x）=x²-2lnx知其定义域为{x|x＞0}，
∵f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）；
（II）由f′（x）=0，解得：x=1或-1（舍），
由（I）知f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上递减，在[1，e]上递增，
当x=1时，f（x）取最小值f（1）=1，
又f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，f（e）=e²-2，且e²-2＞$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值为1，最大值为e²-2；
（III）方程f（x）=x²-x-a，即x-2lnx-a=0，记g（x）=x-2lnx-a，
∵g′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
由g′（x）＞0，得x＞2或x＜0（舍去），g′（x）＜0得0＜x＜2，
∴g（x）在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，
为使方程f（x）=x²-x-a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，
只需g（x）=0在[1，2]和[2，3]上各有一个实根，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（3）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{2-2ln2-a＜0}\\{3-2ln3-a≥0}\end{array}\right.$，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，函数与方程，数形结合思想，属于中档题．