Question

下列命题为真命题的个数（　　）
①若命题p：?x∈R，x²-x-1＞0则￢p：?x∈R，x²-x-1≤0
②要得到y=sin(2x+

π

3

)的图象，可以将y=sinx横坐标变为原来的2倍向左移动

π

3

③y=sin(2x+

π

3

)，(x∈(

π

6

，

π

2

)的值域为(-

3

2

，1)
④x＜1函数y=x+

1

x-1

的值域（-∞，-1]．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据特称命题的否定方法，求出命题p的否定，可判断①；根据函数图象的变换法则，求出y=sinx横坐标变为原来的2倍向左移动

π

3

的解析式，可判断②；根据正弦型函数的图象和性质，求出函数的值域，可判断③；利用基本不等式，求出函数y=x+

1

x-1

的值域，可判断④

解答：解：若命题p：?x∈R，x²-x-1＞0则￢p：?x∈R，x²-x-1≤0，故①为真命题；
将y=sinx横坐标变为原来的2倍可得y=sin

1

2

x的图象，再向左移动

π

3

可得：y=sin

1

2

（x+

π

3

）=y=sin(

1

2

x+

π

6

)的图象，故②为假命题；
当x∈(

π

6

，

π

2

)时，(2x+

π

3

)∈(

2π

3

，

4π

3

)，当(2x+

π

3

)=

2π

3

时，函数取最大值

3

2

，当(2x+

π

3

)=

4π

3

时，函数取最小值-

3

2

，
故函数y=sin(2x+

π

3

)，x∈(

π

6

，

π

2

)的值域为(-

3

2

，

3

2

)，故③为假命题；
④当x＜1时，x-1＜0，函数y=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≤-2+1=-1，故函数y=x+

1

x-1

的值域（-∞，-1]，故④为真命题；
故真命题的个数有2个
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了特称命题的否定，图象的变换法则，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．