Question

已知x₁、x₂是关于x₁的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根，那么

x

2 1

+

x

2 2

的最大值是（　　）

• A．19
• B．17
• C．

  122

  9

• D．18

Answer 1

分析：先利用韦达定理得出根与系数的关系，再将所求式变形，结合函数的判别式，确定函数在区间上为单调减函数，由此即可求得

x

2 1

+

x

2 2

的最大值．

解答：解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根
∴x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2 =(k-2)2-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

∴函数在[-4，-

4

3

]上是单调减函数
∴k=-4时，

x

2 1

+

x

2 2

取得最大，最大值为18
故选D．

点评：本题考查根与系数关系的运用，考查二次函数最值的研究，其中构建函数，确定参数的范围是解题的关键．