Question

（12分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点 和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程;

（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两    点．问：是否存在的值，

使以为直径的圆过点?请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）存在，使得以CD为直径的圆过点E。

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．

（2）由题意知，直线l的参数方程，代入椭圆方程联立消去x，y，要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时成立，利用关系式得到k的值。

解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

依题意　解得　 

∴　椭圆方程为．　                  4分

（2）假若存在这样的k值，

由得   ．6分

∴　　　　　①

设，、，，则    ②    8分

而．

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即

  ∴　　③

将②式代入③整理解得．      经验证，，使①成立．

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．    12分

考点：本题主要考查了椭圆的方程与其几何性质的运用。直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．

点评：解决该试题的关键是熟悉圆锥曲线的基本性质，能运用a,b,c准确表示，而对于是否存在要使以CD为直径的圆过点E，转化为垂直的关系式得到。