Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=1且a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2a_nb_n²，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）∵已知等{a_n}为差数列、{b_n}为等比数列，及两个数列的首项，及a₃+a₅+a₇=9，由等差数列的性质不难求出a₅的值，进一步求出{a_n}的通项公式，再根据a₇是b₃和b₇的等比中项，也可求出b₅的值，进一步求出{b_n}的通项公式．
（2）根据（1）的结论易给出数列{c_n}的通项公式，再利用错位相减法，便可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题意知：a₃+a₅+a₇=9，
∴3

a

5

=9，∴a5=3，d=

a5-a1

4

=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)d=

n+1

2

(n∈N+)
a₇=4，∵a₇²=b₃•b₇=16，∴b₅²=b₃•b₇=16，∵b₅∈N₊，
∴b5=4，∴q4=

b5

b1

=4，∵q∈R+，∴q=

2

，
∴bn=b1•qn-1=2

n-1

2

(n∈N+)
（II）因为c_n=2a_n•b_n²=（n+1）•2^n-1
所以T_n=c₁+c₂++c_n=2+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1．（1）
2T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ．（2）
由（1）减（2），
得-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+

2n-1

2-1

-(n+1)•2n=-n•2n，
∴T_n=n•2ⁿ

点评：等差数列性质a_n=a_m+（n-m）d，a_m+a_n=a_p+a_q?p+q=m+n，（m，n，p，q∈N*）
等比数列性质a_n=a_mq^n-m，a_m•a_n=a_p•a_q?p+q=m+n，（m，n，p，q∈N*）是常用公式，注意应用．