Question

【题目】已知函数（其中，且为常数）.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；

（3）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在（0,1），上单调递增，在（1,2）上单调递减（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【试题分析】（1）将代入再求导，借助导函数值的符号确定函数的单调区间；（2）借助问题（1）的结论，对参数进行分类讨论，最终确定参数的取值范围；（3）依据题设条件将问题进行等价转化为的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求：

解：⑴函数的定义域为

由知

当时，

所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在上单调递增

（Ⅱ）由

当时,对于恒成立,在上单调递增

,此时命题成立;

当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是

（Ⅲ）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.

当时,因为函数在上递增,由题意可知解得;

当时,因为,当时,总有,此时方程没有实根。

综上所述,当时,方程在上有且只有一个实根。