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精英家教网如图,在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,并且AM⊥MN,若侧棱长SA=
3
,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为(  )
A、9πB、12π
C、16πD、32π
分析:由题意推出MN⊥平面SAC,即SB⊥平面SAC,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出球的表面积.
解答:解:∵三棱锥S-ABC正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A,∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球
∴2R=
3
3
,∴R=
3
2
,∴S=4πR2=4π•(
3
2
)2 =9π

故选A.
点评:本题是基础题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力,三棱锥扩展为正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在正三棱锥S—ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,并且AMMN,若侧棱长SA=,则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为  (  )

A.9        B.12          C.16        D.32

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            B

C  32            D      

 

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如图,在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,并且AM⊥MN,若侧棱长SA=,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )

A.9π
B.12π
C.16π
D.32π

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如图,在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,并且AM⊥MN,若侧棱长SA=,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )

A.9π
B.12π
C.16π
D.32π

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