Question

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm³，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量满足关系式g（t）=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜

p

r

时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

Answer 1

分析：（1）设0≤t₁＜t₂，根据g（t） 为常数故可判断出g（t₁）=g（t₂），把解析式代入即可求得g（0）的值．
（2）设0＜t₁＜t₂，进而求得g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)，根据g（0）-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，判断出g（t₁）＜g（t₂）．证明出污染的问题越来越严重．
（3），设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，进而根据g（t）=5% g（0）求得t的值．

解答：解：（1）设0≤t₁＜t₂，
因为g（t） 为常数，∴g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 1=[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 2，整理得[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)=0
则g（0）=

p

r

；
（2）设0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 1-[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 2=[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)
因为g（0）-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
∴污染越来越严重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）•e

r

v

t，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）?

1

20

=e

r

v

t，∴t=

v

r

ln20，
故需要

v

r

ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%．

点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．考查了学生对函数基础知识的掌握和灵活运用．