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20.在平面直角坐标系xoy中,直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线,则当a>0时,实数b的最小值是-2.

分析 求出函数y的导数,设切点为(m,n),由条件得到2=$\frac{2a}{m}$,n=2m+b,n=2alnm,即有b=2alna-2a(a>0),再对b求导,求出单调区间,极值也为最值,即可得到所求.

解答 解:y=2alnx的导数为y′=$\frac{2a}{x}$,
由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线,
则设切点为(m,n),
则2=$\frac{2a}{m}$,n=2m+b,n=2alnm,
即有b=2alna-2a(a>0),
b′=2(lna+1)-2=2lna,
当a>1时,b′>0,函数b递增,
当0<a<1时,b′<0,函数b递减,即有a=1为极小值点,
也为最小值点,且最小值为:2ln1-2=-2.
故答案为:-2.

点评 本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间和极值、最值,考查运算能力,属于中档题.

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