Question

（2013•湖南）设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a₁和a₂，当n≥2时再令n=n-1得到2a_n-1-1=S_n-1，两个式子相减得a_n=2a_n-1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na_n=n•2^n-1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，得2a₁-a₁=a12，即a1=a12，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1+a₂，解得a₂=2，
当n≥2时，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na_n=n•2^n-1，设数列{na_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．

点评：本题考查了数列a_n与S_n之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．