【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标)、建模(能力指标)的相关性,并将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标的值评定学生的数学核心素养,若,则数学核心素养为一级;若,则数学核心素养为二级;若,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下:
(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;
(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为,记随机变量,求随机变量的分布列及其数学期望.
【答案】(1).
(2)分布列见解析,.
【解析】分析:(1)由题可知:建模能力一级的学生是;建模能力二级的学生是;建模能力三级的学生是,进而可求解概率.
(2) 由题可知,数学核心素养一级:,数学核心素养不是一级的:;的可能取值为1,2,3,4,5. 具体如下:
学生 编号 | ||||||||||
综合 指标 | 7 | 7 | 9 | 5 | 7 | 8 | 6 | 8 | 4 | 6 |
核心素养等级 | 一级 | 一级 | 一级 | 二级 | 一级 | 一级 | 二级 | 一级 | 三级 | 二级 |
分别计算当时,的值,进而可得随机变量的分布列及其数学期望
详解:(1)由题可知:建模能力一级的学生是;建模能力二级的学生是;建模
能力三级的学生是.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件,
则.
(2)由题可知,数学核心素养一级: ,数学核心素养不是一级的: ;的可能取值为1,2,3,4,5.
; ;
;;
.
随机变量的分布列为:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于M,N两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).
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【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中数据,求得线性回归方程为,若从这些样本中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为______.
单价(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
销量(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
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【题目】大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的,那么在两个判断框中,可以先后填入( )
A. 是偶数?,? B. 是奇数?,?
C. 是偶数?, ? D. 是奇数?,?
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,为直角三角形,,且.
(1)证明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求异面直线BE与AC所成角的余弦值.
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【题目】已知二次函数.
(1)若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(2)设,函数,存在个零点.
(i)求的取值范围;
(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若点的极坐标为,直线经过点且与曲线相交于两点,设线段的中点为,求的值.
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