Question

已知函数h（x），定义f_k（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常数）叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．
（1）若h（x）=2^x，求当阶宽为2，阶高为3的第0阶和第k函数f₀（x）和f_k（x）的解析式；
（2）若h（x）=x²，设阶宽为2，阶高为3；是否存在正整数k，使得f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？

Answer 1

分析：（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义；
（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明．

解答：解：（1）f₀（x）=h（x）=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=h（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
（2）若h（x）=x²，则f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1
?（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．
当k=1时，x²-2x+1＜0无解，当k≥2时，x²-（k+1）x+1＜0，
得出

k+1- (k+1)2-4

2

＜x＜

k+1+ (k+1)2-4

2

     ①
又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根据

k+1+ (k+1)2-4

2

＜

k+1+ (k+1)2

2

=k+1＜2k，
①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．

点评：本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型．关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式；掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断．