Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣a+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；
（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0 ， 求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：a=1时， ，

设 ，g'（x）在（1，+∞）递增，又g'（1）=0，∴x＞1时g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，

x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即ex+lnx﹣2x+1＞0，

x＞1时，ex+lnx＞2x﹣1，即f（x）＞2x﹣1…．

（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即

即存在x0≥e，使 ．

设 （x≥e），则 ，

设 ， 在[e，+∞）递增，

，所以u＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，

所以h（x）在[e，+∞）递增，所以x≥e时， ，

需ea＞eea＞e…．

【解析】（1）a=1时，化简求出导数，设,,然后求解二次导数，求出导函数的最值，然后证明结论；（2）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即,即存在,使,设,求出导函数，设，通过函数的单调性求解函数的最值，推出结果,
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．