Question

已知函数
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）？如果存在，请求出m的取值范围；反之，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用y=f（x）在[0，1），（1，+∞）上的单调性，及f（a）=f（b），可得1-=-1，从而求出的值；
（2）可假设存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．再由函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），结合（1）的结论知可判断出a，b是方程mx-+1=0的两个根，利用函数思想，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．
解答：解：（1）y=f（x）在[0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-=-1，
∴=2；
（2）假设存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，有
，此时a，b是方程mx-+1=0的两个根，
而m=-，x＞1，令t=∈（0，1），m=-t²+t，⇒0＜m＜，
或t=∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有
⇒0＜m＜，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．m的取值范围为：（0，）．
点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了分段函数，函数的定义域、值域构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，考查了推理判断能力，是一道综合性较强的题．