Question

如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则

PC

•

PD

的取值范围是

[0，16]

．

Answer 1

分析：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C（2，4），D（-2，4），P（2cosα，2sinα），得到

PC

、

PD

坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得

PC

•

PD

=16-16sinα，再结合α∈[0，π]，不难得到

PC

•

PD

的取值范围．

解答：解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系
则圆弧APB方程为x²+y²=4，（y≥0），C（2，4），D（-2，4）
因此设P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]
∴

PC

=（2-2cosα，4-2sinα），

PD

=（-2-2cosα，4-2sinα），
由此可得

PC

•

PD

=（2-2cosα）（-2-2cosα）+（4-2sinα）（4-2sinα）
=4cos²α-4+16-16sinα+4sin²α=16-16sinα
化简得

PC

•

PD

=16-16sinα
∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]
∴当α=0或π时，

PC

•

PD

取最大值为16；当α=

π

2

时，

PC

•

PD

取最小值为0．
由此可得

PC

•

PD

的取值范围是[0，16]
故答案为：[0，16]

点评：本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题．