Question

已知函数f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1）的定义域为M．
（Ⅰ）求定义域M，并写出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈M时，求函数g（x）=2^x+3-4^x的值域．

Answer 1

分析：（I）由函数f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1），知-x²+4x-3＞0，由此能求出函数的定义域和f（x）的单调递增区间．
（II）由g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，令t=2^x，则2＜t＜8，由此能求出函数g（x）=2^x+3-4^x的值域．

解答：解：（ I）∵函数f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1），
∴-x²+4x-3＞0，解得1＜x＜3，
∴定义域M={x|1＜x＜3}．（4分）
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为：（2，3），（6分）
②当a＞1时，f（x）的单调递增区间为：（1，2）．（8分）；
（ II）∵g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，
令t=2^x，则2＜t＜8，
∴g（x）=-t²+8t，
由二次函数性质可知：
当2＜t＜8时，g（x）的值域是（0，16]．（13分）

点评：本题考查对数函数的定义域和增区间的求法，考查指数函数的值域的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意换元法的合理运用．