Question

（2008•成都三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，E是BD上的一个动点．现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图2所示．
（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
（2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A-EC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

解答：（1）证明：∵AB∥平面EFG，平面ABD∩平面EFG=EF，∴AB∥EF．…（2分）
∵F是AD的中点．∴E是BD中点．
又∵G是BC的中点．∴GE∥CD．
∵CD?平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）
（2）解：由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的中点．
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．
故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则A（0，0，1），C（1，

2

，0），D（0，

2

，0），E（0，

2

2

，0）；

EA

=（0，-

2

2

，0），

EC

=（0，

2

2

，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

n1 • EA =0   n1 • EC =0

⇒

0•x1- 2 2 y1+1•z1=0，   1•x1+ 2 2 y1+0•z1=0．

解得

x1=-z1   y1= 2 z1

∴平面ACE的一个法向量为

n1

=（-1，

2

，1）．…（2分）

而平面BCE的一个法向量为

n2

=（0，0，1）．
∵cos＜

n1

•

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

(-1)2+( 2 )2+1

=

1

2

，…（2分）
显然，二面角A-EC-B为锐角，
∴二面角A-EC-B的大小为60°．…（2分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．