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3.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率;
(2)若M是圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值;
(3)若点N(a,b)满足关系式a2+b2-4a-14b+45=0,求$\frac{b-3}{a+3}$的最大值.

分析 (1)由点P(m,m+1)在圆上,可得m的方程,解方程可得;
(2)由(1)配方可得圆C:(x-2)2+(y-7)2=8,可得$r=2\sqrt{2}$,$|{CQ}|=4\sqrt{2}$,结合图象易得最值;
(3)设$E({-3,3}),k=\frac{b-3}{a+3}$,当过点E的直线与圆相切时,k取最大值,结合点到直线的距离公式可得.

解答 解:(1)∵点P(m,m+1)在圆上,
∴m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0
解得m=4,∴P(4,5),
∴kPQ=$\frac{3-5}{-2-4}$=$\frac{1}{3}$;
(2)由(1)配方可得圆C:(x-2)2+(y-7)2=8,
∴$r=2\sqrt{2}$,$|{CQ}|=4\sqrt{2}$,∴${|{MQ}|_{max}}=|{CQ}|+r=6\sqrt{2}$,
${|{MQ}|_{min}}=|{CQ}|-r=2\sqrt{2}$;
(3)设$E({-3,3}),k=\frac{b-3}{a+3}$,
如图,当过点E的直线与圆相切时,k取最大值.
∵切线方程为y-3=k(x+3),即kx-y+3k+3=0
∴$d=\frac{{|{5k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$,∴$k=\frac{{20±2\sqrt{66}}}{17}$,
∴$\frac{b-3}{a+3}$的最大值为$\frac{{20+2\sqrt{66}}}{17}$.

点评 本题考查直线和圆的位置关系,数形结合是解决问题的关键,属中档题.

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