Question

设M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂为焦点，如果∠MF₁F₂=75°，∠MF₂F₁=15°，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析：根据题意，△MF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形．利用直角三角形三角函数的定义，可得

|MF1|+|MF2|

|F1F2|

=

6

2

，最后结合椭圆的定义和离心率的公式，可求出椭圆的离心率．

解答：解：∵△MF₁F₂中，∠MF₁F₂=75°，∠MF₂F₁=15°，
∴∠F₁MF₂=90°，即△MF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形．
∵M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，
∴|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∵Rt△MF₁F₂中，sin∠MF₁F₂=

|MF2|

|F1F2|

=

6 + 2

4

，sin∠MF₂F₁=

|MF1|

|F1F2|

=

6 - 2

4

∴

|MF2|

|F1F2|

+

|MF1|

|F1F2|

=

6

2

，即

2a

2c

=

6

2

因此椭圆的离心率e=

c

a

=

1

6 2

=

6

3

点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两焦点构成锐角为15度的直角三角形，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与基本概念和三角函数的定义等知识，属于基础题．