Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明AC⊥平面BDD₁，只要证明DD₁⊥AC，AC⊥BD即可；
（Ⅱ）利用平移法得出∠CBD₁（或其补角）为异面直线BD₁与AD所成角，进而可求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴DD₁⊥面AC，∴DD₁⊥AC
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D
∴AC⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD
∴∠CBD₁（或其补角）为异面直线BD₁与AD所成角
∵BC=2，BD₁=2

3

，BC⊥CD₁，
∴cos∠CBD₁=

3

3

点评：本题考查线面垂直的判定，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．