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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=

(1)求证:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.

【答案】
(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,

∵△APB为等腰三角形,∴PO⊥AB

又∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=120°,

∴△ACB是等边三角形,∴CO⊥AB

又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO,

又PC平面PCO,∴AB⊥PC


(2)解:∵ABCD为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=

∴PO=1,CO= ,∴OP2+OC2=PC2

∴OP⊥OC,

以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,

建立空间直角坐标系,

则A(0,﹣1,0),B(0,1,0),C( ,0,0),

P(0,0,1),D( ,﹣2,0),

=( ,﹣1,0), =( ,0,-1), =(0,2,0),

设平面DCP的法向量 =(x,y,z),

,令x=1,得 =(1,0, ),

设平面PCB的法向量 =(a,b,c),

,令a=1,得 =(1, ),

cos< >= =

∵二面角B一PC﹣D为钝角,∴二面角B一PC﹣D的余弦值为﹣


【解析】(1)取AB的中点O,连接PO,CO,AC,由已知条件推导出PO⊥AB,CO⊥AB,从而AB⊥平面PCO,由此能证明AB⊥PC.(2)由已知得OP⊥OC,以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值.
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系,需要了解相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能得出正确答案.

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