【题目】已知函数f(x)=2sin2( +x)+ (sin2x﹣cos2x),x∈[ , ].
(1)求 的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若不等式|f(x)﹣m|<2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:
(2)解: = .
又 ,
∴ ,
当 时,f(x)单调递增;
当 时,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是 ;
f(x)的单调递减区间是
(3)解:由(2)得 ,
∴f(x)的值域是[2,3].
|f(x)﹣m|<2f(x)﹣2<m<f(x)+2, .
∴m>f(x)max﹣2且 m<f(x)min+2,
∴1<m<4,即m的取值范围是(1,4)
【解析】(1)根据所给的解析式,代入所给的自变量的值,计算出结果,本题也可以先化简再代入数值进行运算.(2)把所给的三角函数的解析式进行恒等变形,整理出y=Asin(ωx+φ)的形式,根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间,解出不等式即可.(3)根据前面整理出来的结果,得到f(x)的值域,不等式|f(x)﹣m|<2恒成立,解出关于绝对值的不等式,求出结果.
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角函数的最值(函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,).
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【题目】如图,已知长方形中, , 为的中点,将沿折起,使得平面平面,设点是线段上的一动点(不与, 重合).
(Ⅰ)当时,求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证: 不可能与垂直.
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【题目】在数列中, ,其前项和为,满足,其中.
(1)设,证明:数列是等差数列;
(2)设为数列的前项和,求;
(3)设数列的通项公式为为非零整数),试确定的值,使得对任意,都有数列为递增数列.
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【题目】已知关于x的一元二次函数,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对。
(1)若,,求函数在内是偶函数的概率;
(2)若,,求函数有零点的概率;
(3)若,,求函数在区间上是增函数的概率。
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【题目】已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点,点为椭圆上一动点,当轴时, .
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆存在点,使得四边形是平行四边形(点在第一象限),求直线与的斜率之积;
(3)记圆为椭圆的“关联圆”. 若,过点作椭圆的“关联圆”的两条切线,切点为、,直线的横、纵截距分别为、,求证: 为定值.
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