Question

（2013•天津一模）已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-

1

an

，数列{b_n}中bn=

1

an-1

，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{

1

3

bn}的前n项和，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (

1

3

)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得bn+1=

an

an-1

，再由bn=

1

an-1

，从而得到  bn+1-bn=

an

an-1

-

1

an-1

=1，由此证得结论
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，于是

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，用裂项法求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知　(

1

3

)n•bn=n•(

1

3

)n，求出T_n的解析式，可得

1

3

T_n 的解析式，用错位相减法求出T_n的解析式，
从而可得要证的不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）bn+1=

1

an+1-1

=

1

1- 1 an

=

an

an-1

，而　bn=

1

an-1

，
∴bn+1-bn=

an

an-1

-

1

an-1

=1．n∈N^*
∴{b_n}是首项为b1=

1

a1-1

=1，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，

1

3

bn=

1

3

n． ∴Sn=

1

3

(1+2+…+n)=

n(n+1)

6

，
于是

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，
故有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=6(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=6(1-

1

n+1

)=

6n

n+1

．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　(

1

3

)n•bn=n•(

1

3

)n，
则Tn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．∴

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1．
则 

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1=

1

2

[1-(

1

3

)n]-n•(

1

3

)n+1，
∴T_n=

3

4

-

1

4

(

1

3

)n-1-

n

2

•(

1

3

)n＜

3

4

．     （14分）

点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题．