Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F为椭圆的右焦点，点Q（0，-2），直线QF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．与椭圆方程联立可得：（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，由于△＞0，化为k²$＜\frac{1}{5}$．由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），可得$t\overrightarrow{OP}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），t≠0，k≠0时，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{t}$（x₁+x₂，y₁+y₂），利用根与系数的关系可得：x₀=$\frac{24{k}^{2}}{t（1+4{k}^{2}）}$，${y}_{0}=\frac{-6k}{t（1+4{k}^{2}）}$，代入椭圆方程可得：t²=9-$\frac{9}{1+4{k}^{2}}$，解出即可．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$c=\sqrt{3}$，a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线l的方程为：y=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
∴△=（24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，
化为k²$＜\frac{1}{5}$．
∴x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=$\frac{-6k}{1+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），
∴$t\overrightarrow{OP}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
t≠0，k≠0时，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{t}$（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴x₀=$\frac{24{k}^{2}}{t（1+4{k}^{2}）}$，${y}_{0}=\frac{-6k}{t（1+4{k}^{2}）}$，
代入椭圆方程可得：$\frac{（24{k}^{2}）^{2}}{4{t}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{36{k}^{2}}{{t}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$=1，
化为t²=9-$\frac{9}{1+4{k}^{2}}$，
∵k²$＜\frac{1}{5}$，
∴t²＜4，
解得-2＜t＜2．
t=0时也满足题意．
综上可得：实数t的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点与椭圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．