Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．对任意非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

A．{1，2}

B．{1，4}

C．{1，2，3，4}

D．{1，4，16，64}

Answer 1

分析：根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解应满足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=-

b

2a

对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-

b

2a

设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为y₁，y₂
则必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-

b

2a

称
也就是说2（x₁+x₂）=-

2b

a

同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-

b

2a

对称
那就得到2（x₃+x₄）=-

2b

a

在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}，中间两个数4，16的对称轴为10，而最大值和最小值1，64的对称轴为

65

2

，
即函数的图象不是轴对称图形，
故选D．

点评：本题主要考查二次函数的性质--对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．