Question

若定义在R上的减函数y=f（x），对任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，则当1≤a≤4时，的取值范围是（ ）
A．[-，1）
B．[-，1]
C．[-，1]
D．（-，1]

Answer 1

【答案】分析：根据y=f（x）是定义在R上的减函数，得不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）等价于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐标系如图，画出不等式组表示的平面区域，将动点P（a，b）在区域内运动并结合直线的斜率公式，可得的取值范围．
解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，
即a²-2a≥b²-2b，化简得（a-b）（a+b-2）≥0
以a、b分别为横坐标和纵坐标，建立aob直角坐标系，
作出不等式组表示的平面区域，
如右图所示的△ABC，其中A（1，1），B（4，4），C（4，-2）
动点P（a，b）在区域内运动，得=k，等于直线PO的斜率
当P与线段AB上某点重合时，达到最大值，（）_max=1
当P与点C重合时，达到最小值，（）_min==-
由此可得，当1≤a≤4时，的取值范围是[-，1]
故选C
点评：本题以函数的单调性为载体，求解不等式恒成立时参数的取值范围，着重考查了函数单调性、二元一次不等式表示的平面区域和直线的斜率公式等知识，属于中档题．