Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n项之积，即Πn=a₁•a₂…a_n，试比较Π₇、Π₈、Π₉的大小．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：∵S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，
由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（4分）
得：2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），∴an+2=-

1

2

an+1，∴{a_n}的公比q=-

1

2

．…（8分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（2分）
当q=1时，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
则2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，?a₁=0与{a_n}为等比数列矛盾；  …（4分）
当q≠1时，则2•

a1(1-qn+2)

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-qn+1)

1-q

，
化简得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，∵qⁿ≠0，∴2q²=1+q，∴q=-

1

2

…（8分）
（Ⅱ）∵a1=28， q=-

1

2

，则有：a₂=-2⁷，a₃=2⁶，a₄=-2⁵，a₅=2⁴，a₆=-2³，a₇=2²，a₈=-2，a₉=1，…∴Π₇＜0…（11分）Π₈=Π₉＞0…（13分）∴Π₇＜Π₈=Π₉…（14分）