Question

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O是AB中点．
（1）求三棱锥P-ABC的外接球的表面积；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）判断三角形ABC的形状，确定三棱锥P-ABC的外接球的半径，然后求解表面积；
（2）连接OC、OP，证明OC⊥AB，PO⊥AB，然后证明PO⊥OC，通过PO⊥AB，AB∩OC=O，说明PO⊥平面ABC．即可证明平面PAB⊥平面ABC；
（3）利用（2）的结果，确定棱锥的高，求出底面面积，即可求三棱锥P-ABC的体积．

解答：解：（1）三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O是AB中点．
所以△ABC是直角三角形，∴OA=OB=OC=OP=1，
三棱锥P-ABC的外接球的半径r=1 
∴表面积s=4π
（2）证明：连接OC、OP
∵AC=CB=

2

，O是AB中点，AB=2，∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又PC=

2

，∴PC²=OC²+PO²=2，
∴∠POC=90°，∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（3）由（2）可知PO⊥平面ABC，PO是棱锥的高，底面三角形ABC是直角三角形，
所以v=

1

3

×

1

2

AB•OC•OP=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．

点评：本题考查平面与平面存在的判断，棱锥的外接球的表面积的求法，棱锥的体积，考查空间想象能力计算能力．