Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}是等比数列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整数且成等比数列，求a₃的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知可求a₂，b₂，结合已知a₁=b₂，可得等差数列{a_n}的公差d，可求a_n=，然后由b₃=a₄，可求{b_n}的公比q，进而可求b_n
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由已知可得(a1+b1)•(a3+b3)=(a2+b2)2=64．分别利用等差数列及等比数列的通项表示已知项可得关于d，q的方程，解方程可求d，即可求解

解答：解：（1）由a₁+a₂+a₃=15，b₁b₂b₃=27．
可得a₂=5，b₂=3，
所以a₁=b₂=3，从而等差数列{a_n}的公差d=2，
所以a_n=2n+1，从而b₃=a₄=9，{b_n}的公比q=3
所以bn=3n-1． …（3分）
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则a₁=5-d，b1=

3

q

，a₃=5+d，b₃=3q．
因为a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，所以(a1+b1)•(a3+b3)=(a2+b2)2=64．
设

a1+b1=m a3+b3=n

，m，n∈N^*，mn=64，
则

5-d+ 3 q =m 5+d+3q=n

，整理得，d²+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得d=

n-m+ (m+n-10)2-36

2

（舍去负根）．
∵a₃=5+d，
∴要使得a₃最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）²取最大值．
∵m，n∈N^*，mn=64，
∴当且仅当n=64且m=1时，n-m及（m+n-10）²取最大值．
从而最大的d=

63+7 61

2

，
所以，最大的a3=

73+7 61

2

…（16分）

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力