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设平面向量
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),且
a
b
的夹角为θ,
因为
a
b
=|
a
||
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
||
b
|.
a1b1+a2b2
a21
+
a22
×
b21
+
b22

当且仅当θ=0时,等号成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明:对于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a21
+
a22
+
a23
)(
b21
+
b22
+
b23
)
成立;
(II)试求函数y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值.
(I)证明:设空间向量
a
=(a1,a2,a3),
b
=(b1,b2,b3),且
a
b
的夹角为θ,
因为
a
b
=|
a
|•|
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
|•|
b
|,(3分)
a1b1+a2b2+a3b3
a21
+
a22
+
a23
b21
+
b22
+
b23
(6分)
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a21
+
a22
+
a23
)(
b21
+
b22
+
b23
)

当且仅当θ=0时,等号成立.(7分)
(II)设空间向量
a
=(1,1,1),
b
=(
x
,  
2x-2
,  
8-3x
)
,且
a
b
的夹角为θ,(9分)
因为y=
x
+
2x-2
+
8-3x
=
a
b

所以y=
x
+
2x-2
+
8-3x
12+12+12
x+(2x-2)+(8-3x)

y≤
3
6
=3
2
,(12分)
当且仅当θ=0(即
a
b
共线,且方向相同)时,等号成立.
所以当
x
=
2x-2
=
8-3x
时,
即x=2时,函数y=
x
+
2x-2
+
8-3x
有最大值ymax=3
2
.(14分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

请先阅读:
设平面向量
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),且
a
b
的夹角为θ,
因为
a
b
=|
a
||
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
||
b
|.
a1b1+a2b2
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2

当且仅当θ=0时,等号成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明:对于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)
成立;
(II)试求函数y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

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设平面向量=(a1,a2),=(b1,b2),且的夹角为è,

因为=||||cosè,

所以≤||||.

当且仅当è=0时,等号成立.

(I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明:对于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有成立;

(II)试求函数的最大值.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年北京市西城区(北区)高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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设平面向量=(a1,a2),=(b1,b2),且的夹角为θ,
因为=||||cosθ,
所以≤||||.

当且仅当θ=0时,等号成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明:对于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有成立;
(II)试求函数的最大值.

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