Question

某连锁分店销售某种品牌产品，每件产品的成本为4元，并且每件产品需向总店交5元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（10≤x≤12）时，一年的销售量为（13-x）²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式L（x）（销售一件商品获得的利润为x-（4+5））；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利润函数L（万元）与售价x的关系式为：L（x）=（销售一件商品获得的利润）×一年的销售量；
（2）对利润函数求导，得L′（x），令L'（x）=0，解得x的值，从而求得L（x）的最大值，即利润最大．

解答：解：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L（x）=（x-9）（13-x）²，x∈[10，12]．
（2）对利润函数求导，得L′（x）=（13-x）²-2（x-9）（13-x）=（13-x）（31-3x）；
令L'（x）=0，得x=

31

3

或x=13（舍去）；
因为L（x）在x∈[10，

31

3

]上单调递增，L（x）在x∈[

31

3

，12]上单调递减，
所以Lmax=L(

31

3

)=(

31

3

-9)(13-

31

3

)2=

256

27

．
答：当每件售价为

31

3

元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为

256

27

万元．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且考查了用导数法求三次函数在定义域上的最值问题，属于中档题．