Question

关于函数f（x）=ln（1-x）-ln（1+x），有下列结论：
①f（x）的定义域为（-1，1），
②f（x）的图象关于原点成中心对称，
③f（x）在其定义域上是增函数，
④对f（x）的定义域中任意x有f（

2x

1+x2

）=2f（x）．
其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数函数的定义求出定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数，根据函数单调性的定义证明出函数为减函数，问题得以解决

解答： 解：∵函数f（x）=ln（1-x）-ln（1+x），
∴

1-x＞0 1+x＞0

，
解得-1＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，1），故①正确，
∵f（-x）=ln（1+x）-ln（1-x）=-[ln（1-x）-ln（1+x）]=-f（x），
∴函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故②正确；
设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ln（1-x₁）-ln（1+x₁）-ln（1-x₂）+ln（1+x₂）=ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
∵1-x₁＞1-x₂，1+x₂＞1+x₁，
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
∴ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在其定义域上是减函数，故③错误；
∵f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）=ln

1-x

1+x

，
∴f（

2x

1+x2

）=ln

1- 2x 1+x2

1+ 2x 1+x2

=ln(

1-x

1+x

)2=2lnln

1-x

1+x

=2f（x），故④正确．
故选：C．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，函数的单调性奇偶性，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．