2016年是红色长征胜利80周年.某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答.宣传长征精神.首先在甲.乙.丙.丁四个不同的公园进行支持签名活动公园甲乙丙丁获得签名人数 45 60 30 15然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题.从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答.全部答对的幸运之星获得一份纪� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．2016年是红色长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动

公园	甲	乙	丙	丁
获得签名人数	45	60	30	15

然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．
（Ⅰ）求此活动轴个各公园幸运之星的人数
（Ⅱ）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率
（Ⅲ）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列及数学期望E（X）

分析（Ⅰ）此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为：$\frac{45}{150}×10$，$\frac{60}{150}×10$，$\frac{30}{150}$×10，$\frac{15}{150}$×10．
（Ⅱ）乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，可得乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$．
（Ⅲ）由题意可得：X的取值为2，3，4．X服从几何分布列．即可得出．

解答解：（Ⅰ）此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为：$\frac{45}{150}×10$=3，$\frac{60}{150}×10$=4，$\frac{30}{150}$×10=2，$\frac{15}{150}$×10=1．
（Ⅱ）乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$．
（Ⅲ）由题意可得：X的取值为2，3，4．X服从几何分布列．P（X=2）=$\frac{{∁}_{8}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{8}^{3}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{{∁}_{8}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$．
X的分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

∴数学期望E（X）=$2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{3}$=$\frac{16}{5}$．

点评本题考查了几何分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

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