Question

【题目】已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．
（1）若 ，求函数F（x）=f（x）ex的单调区间；
（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a= ，F（x）=（x2+bx+1）ex，

则F′（x）=（2x+b）ex+（x2+bx+1）ex=[x2+（b+2）x+b+1]ex=（x+1）[x+（b+1）]ex，

由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），

①若b+1=1，即b=0时，F′（x）=（x+1）2ex≥0，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，+∞），

②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），

此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，

此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣（b+1），﹣1），

③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，

此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），

此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣1，﹣（b+1））

（2）解：方程f（x）=ex在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）内有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

设g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

则g（x）在（0，1）内有零点，

设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，

则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，

设h（x）=g′（x），

则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，

即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

当a≤ 时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，

当a≥ 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，

当 ＜a＜ 时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

设φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

则φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

当1＜x＜ 时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，

当 ＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，

则φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

则h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

当 ＜a＜ 时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，

在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，

则g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

则g（x）在（x1，x2）内有零点，

综上，实数a的取值范围是（ ， ）

【解析】（1）若a= ，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的零点与方程根的关系的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点才能正确解答此题．