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已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数,且f(
1
2
)=
2
5

(1)求实数a,b的值;
(2)用定义证明:函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
(1)∵f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数,且f(
1
2
)=
a
2
+b
1+(
1
2
)
2
=
2
5

f(-
1
2
)=
-
a
2
+b
1+(-
1
2
)
2
=-f(
1
2
)=-
2
5
,解得:a=1,b=0.
f(x)=
x
1+x2

(2)证明:在区间(-1,1)上任取x1,x2,令-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
x1(1+x22)-x2(1+x12)
(1+x12)(1+x22)
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)

∵-1<x1<x2<1
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(1+x12)>0,(1+x22)>0
∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2
故函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数.
(3)∵f(t-1)+f(t)<0
∴f(t)<-f(t-1)=f(1-t)
∵函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数
t<1-t
-1<t<1
-1<1-t<1

0<t<
1
2

故关于t的不等式的解集为(0,
1
2
)
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已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=
ax+b
x2+1
为奇函数.且f(
1
2
)=
2
5

(1)、求实数a、b的值.
(2)、求证:函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数.
(3)、解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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1
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)=
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(2)、解关于 t 的不等式f(t-1)+f(t-2)<0.

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1
2
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5
-1)0-(
1
27
)-
1
3
+lg25+2lg2

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2
)=
2
5

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