【题目】已知函数,若函数有两个极值点,且,则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由题意可得,,作比得==,令=t,结合条件将写成关于t的函数,求导分析得到的范围,再结合得到a的范围,与函数有两个极值点时a的范围取交集即可.
∵函数有两个极值点,∴有两个零点,
即,两式作比得到:==,
令=t,则有=, ②
∴代入式得:,
又由②得=,∴t,
令g(t)= t,则=,
令h(t)=,则=,
∴h(t)单调递减,∴h(t)=1-2,
∴g(t)单调递减,∴g(t)=,即,
而,令u(x)=,则>0, ∴u(x)在x上单调递增,
∴u(x),即a,
又有两个零点,u(x)在R上与y=a有两个交点,
而,在(-,1), u(x) 单调递增,在(1,+, u(x)单调递减,u(x)的最大值为u(1)=,大致图像为:
∴,又,,
综上,,
故答案为.
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【题目】已知直线l的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;
Ⅱ若直线与曲线C交于点不同于原点,与直线l交于点B,求的值.
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【题目】某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(Ⅰ)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(误差)
(Ⅱ)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值)
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【题目】央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况,随机抽取了某市名观众进行调查,其中有名男观众和名女观众,将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图(单位:分钟),收视时间在分钟以上(包括分钟)的称为“朗读爱好者”,收视时间在分钟以下(不包括分钟)的称为“非朗读爱好者”.
(1)若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名,再从这名观众中任选名,求至少选到名“朗读爱好者”的概率;
(2)若从收视时间在40分钟以上(包括40分钟)的所有观众中选出男、女观众各1名,求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.
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【题目】已知定义在上的函数及如下的4个命题:
关于x的方程有个不同的零点;
对于实数,不等式恒成立;
在上,方程有5个零点;
时,函数的图象与x轴图成的形的面积是4.
则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水,市民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费,超出立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当=3时,试完成该10000位居民该月水费的频率分布表,并估计该市居民该月的人均水费.
组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
分组 | ||||||||
频率 |
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【题目】某化工企业2018年年底投入100万元,购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元,此外,每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为(单位:万元)
(1)用表示;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。
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