Question

设p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增；q：m≥

8x

x2+4

对任意x＞0恒成立，则p是q的

 

条件．（填：充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要）

Answer 1

分析：先求出p，q成立的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：∵f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，
∴f'（x）≥0恒成立，
即f'（x）=3x²+4x+m≥0恒成立．
∴△=16-4×3m≤0，解得m≥

4

3

．
即p：m≥

4

3

．
∵

8x

x2+4

=

8

x+ 4 x

≤

8

2 x• 4 x

=

8

2×2

=2，当且仅当x=

4

x

，即x=2取等号，
∴m≥2，
即q：m≥2．
∴p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用条件求出p，q的等价条件是解决本题的关键．