Question

在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为

x= 3 cosθ y=sinθ

（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程；
（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．

解答：解：（1）由ρcos(θ-

π

4

)=2

2

，
得ρ（cosθ+sinθ）=4，
∴l：x+y-4=0，
∵

x= 3 cosθ y=sinθ

，（θ为参数），
∴消去参数得

x2

3

+y2=1，
∴曲线C的普通方程为

x2

3

+y2=1和直线l的直角坐标方程为x+y-4=0；
（2）在C：

x= 3 cosθ y=sinθ

上任取一点（

3

cosθ，sinθ），
则点P到直线l的距离为d=

| 3 cosθ+sinθ-4|

2

=

|2sin(θ+ π 3 )-4|

2

≤3

2

，
∴当sin（θ+

π

3

）=-1时，d_max=3

2

，
此时这个点的坐标为（-

3

2

，-

1

2

）．

点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．属于中档题．