Question

设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.

(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．

(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)

①?x∈(－∞，1)，f(x)>0；

②?x∈R，使ax、bx、cx不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1，2)，使f(x)＝0.

 

Answer 1

(1){x|0<x≤1} (2)①②③

【解析】(1)因为c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，

所以0<2a≤c，所以≥2.

令f(x)＝0，得2ax＝cx，即＝2，即x＝2，＝log2 ≥1，所以0<x≤1.

(2)由a、b、c是△ABC的三条边长，知a＋b>c，

因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1，0<<1，

当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>cx ＝cx·>0，①正确；

令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c可以构成三角形，而a2＝4，b2＝9，c2＝16不能构成三角形，②正确；

由c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0.因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确