Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求三棱锥P-ADM的体积．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．利用面面垂直性质定理，结合△PCD为正三角形证出PE⊥平面ABCD，从而得出AM⊥PE．利用题中数据，在矩形ABCD中证出EM²+AM²=AE²，可得AM⊥EM，最后根据线面垂直判定定理证出AM⊥平面PEM，得到即可AM⊥PM；
（2）算出三角形ADM的面积，结合PE=

3

是三棱锥P-ADM的高线，利用锥体的体积公式即可算出三棱锥P-ADM的体积．

解答：解：（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．
∵△PCD为正三角形，E为CD中点，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PE⊥平面ABCD
∵AM?平面ABCD，∴AM⊥PE
∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理求得：EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²，可得AM⊥EM
又∵PE、EM是平面PEM内的相交直线，∴AM⊥平面PEM
∵PM?平面PEM，∴AM⊥PM
（2）∵正△PCD中，边长为2，∴PE=

3

2

CD=

3

，
∵矩形ABCD中，AD=2

2

，CD=2
∴S_△ADM=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×2

2

×2=2

2

∵PE⊥平面ABCD，得PE是三棱锥P-ADM的高
∴三棱锥P-ADM的体积V=

1

3

S_△ADM×PE=

1

3

×2

2

×

3

=

2 6

3

点评：本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求锥体的体积．着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．