Question

12．某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？

Answer 1

分析 （1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式．
（2）将关系式化简为y=x+$\frac{169}{x}$+1.7（x＞0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．

解答 解：（1）由题意可知，年平均污水处理费用为：y=$\frac{169+0.7x+（2+4+6+…2x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}+1.7x+169}{x}$（x＞0）；
（2）由均值不等式得：y=x+$\frac{169}{x}$+1.7≥2$\sqrt{x•\frac{169}{x}}$+1.7=27.7（万元）
当且仅当x=$\frac{169}{x}$，即x=13时取到等号
所以该企业13年后需要重新更换新设备，平均最低费用是27.7（万元）．

点评 本土主要考查均值不等式的应用．考查对基础知识的理解和认识．属中档题．