Question

如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

Answer 1

分析：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
求出

DH

=(

2

2

，

2

2

，1)．
（Ⅰ）利用cos＜

DH

，

CC′

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1× 2

=

2

2

，求出＜

DH

，

CC′

＞=45°．即可．
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．通过cos＜

DH

，

DC

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×1+1×0

1× 2

=

1

2

，得到＜

DH

，

DC

＞=60°．即可．
方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．求出

DP

=(

2

-1，

2

-1，2-

2

)解题过程同方法一．

解答：解：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
则

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)．连接BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
设

DH

=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜

DH

，

DA

＞=60°，
由

DA

•

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞
可得2m=

2m2+1

．解得m=

2

2

，所以

DH

=(

2

2

，

2

2

，1)．（4分）
（Ⅰ）因为cos＜

DH

，

CC′

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1× 2

=

2

2

，
所以＜

DH

，

CC′

＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．
因为cos＜

DH

，

DC

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×1+1×0

1× 2

=

1

2

，所以＜

DH

，

DC

＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．则

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)，

BD′

=(-1，-1，1)．
设P（x，y，z）则

BP

=λ

BD′

，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴

x=1-λ y=1-λ z=λ

，则

DP

=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜

DP

，

DA

＞=60°，
∴λ²-4λ+2=0，解得λ=2-

2

，∴

DP

=(

2

-1，

2

-1，2-

2

)（4分）
（Ⅰ）因为cos＜

DP

，

CC′

＞=

2- 2

2( 2 -1)

=

2

2

，
所以＜

DP

，

CC′

＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．
因为cos＜

DP

，

DC

＞=

2 -1

2( 2 -1)

=

1

2

，所以＜

DP

，

DC

＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．