Question

函数y=4sin²x+6cosx-6的值域是（ ）
A．[-6，0]
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：同角三角函数间的平方关系sin²x+cos²x=1化简函数解析式的第一项，把函数解析式化为关于cosx的二次函数，并配方为顶点形式，由x的范围，根据余弦函数的图象与性质求出cosx的值域，即为二次函数自变量的取值范围，根据题意画出二次函数的图象，由图象可得函数的最小值及最大值，即可得到函数的值域．
解答：解：函数y=4sin²x+6cosx-6
=4（1-cos²x）+6cosx-6
=-4（cosx-）²+，
∵，∴-≤cosx≤1，
根据题意画出函数图象，如图所示：

根据图象可得当cosx=-时，函数y=-4（cosx-）²+取得最小值，最小值为-6，
当cosx=时，函数y=-4（cosx-）²+取得最大值，最大值为，
则函数的值域为[-6，]．
故选B
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数的基本关系，余弦函数的定义域与值域，以及二次函数在闭区间上的最值，利用了数形结合的思想，其中把函数解析式化为关于cosx的二次函数，并画出相应的图形是解本题的关键．