Question

【题目】（文科做）已知函数f（x）=x﹣ ﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．
（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	3﹣2ln3

从上表可知，

∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），

函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2

（2）解： ，

①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

②当a=2时，∵ ，

∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；

综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）

【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．