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已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)要得到函数g(x)=sinx的图象,只需将函数f(x)的图象做怎样的变换?
考点:三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
专题:三角函数的图像与性质
分析:(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简f(x)解析式,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出f(x)的最小正周期,根据正弦函数的对称性即可确定出对称轴方程;
(2)利用三角函数的图象关系进行变换.
解答: 解:(1)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
),
∵ω=2,
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π,
令2x-
π
6
=kπ+
π
2
,得到x=
2
+
π
3
(k∈Z),
则图象的对称轴方程为x=
2
+
π
3
(k∈Z);
(2)要得到函数g(x)=sinx的图象,只需将函数f(x)的图象首先向左平移
π
12
,得到y=sin2x的图象,然后将y=sin2x的图象上的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍.
点评:本题考查了三角函数的恒等变形、三角函数性质的运用以及三角函数图象的变换;属于基础题.
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4
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