【题目】在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面, // ,, ,点点P在棱上.
(1)求证: ;
(2)若是的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(3)是否存在正实数,使得,且满足二面角的余弦值为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)2
【解析】试题分析:(1)利用面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及其性质定理即可得出.
(2)以为坐标原点, 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
求得, 利用平面法向量的夹角公式即可得出异面直线与所成角的余弦值;
(3)假设存在正实数满足题意,易知平面的一个法向量为,设,
由,求得,进而求得, ,求得平面的一个法向量为,利用平面法向量的夹角公式即可得出.
试题解析:(1)证: 平面平面,
平面平面,
又
又四边形为矩形,
以为坐标原点, 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则,
, ,则
, ,
异面直线所成角的余弦值为
(3)假设存在正实数满足题意,易知平面的一个法向量为,设,
由得: 得:
即:
,
设平面的一个法向量为则
即 令,则,
即 , 则
解之得:
综上所述,存在满足题意.
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【题目】选修4﹣4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线C的方程为ρcos(θ﹣ )=a.
(1)判断动点A的轨迹的形状;
(2)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.
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【题目】已知抛物线和的焦点分别为, 交于O,A两点(O为坐标原点),且
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点O的直线交的下半部分于点M,交的左半部分于点N,点,求面积的最小值.
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【题目】如图, 为正四棱锥侧棱上异于, 的一点,给出下列结论:
①侧面可以是正三角形.
②侧面可以是直角三角形.
③侧面上存在直线与平行.
④侧面上存在直线与垂直.
其中,所有正确结论的序号是__________.
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