Question

已知边长为2的正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，点A在平面BCDE的投影点O恰好落在直线EF上．
（1）证明：BF∥平面ADE；
（2）证明：AE⊥平面ACD；
（3）求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由BE∥FD，BE=FD，知四边形BEDF为平行四边形，由此能够证明BF∥平面ADE．
（2）由AO⊥面BCDE，知AO⊥CD，由CD⊥EF，知CD⊥EF，由此能够证明AE⊥平面ACD．
（3）由BC=2，CF=1，知S△BCF=

1

2

•BC•CF=1，由AE⊥面ACD，知AE⊥AF，由EF=2，AE=1，知AF=

3

，AD=

3

2

，由此能求出三棱锥F-ABC的体积．

解答：（1）证明：∵BE∥FD，BE=FD，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴ED∥BF，
∵ED?平面ADE，BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．
（2）证明：∵AO⊥面BCDE，∴AO⊥CD，
又∵CD⊥EF，AO∩EF=O，
∴CD⊥EF，
∴CD⊥AE，
又∵AE⊥AD，AD∩CD=D，
∴AE⊥平面ACD．
（3）解：∵BC=2，CF=1，
∴S△BCF=

1

2

•BC•CF=1，
由（2）知：AE⊥面ACD，
∴AE⊥AF，
又∵EF=2，AE=1，
∴AF=

3

，
∴AD=

AE•AF

EF

=

3

2

，
∴V_F-ABC=V_A-BCF=

1

3

•S△BCF•AO=

3

6

．

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法．解题时要注意合理地化立体问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．