Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）求函数f（x）在[-5，-3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）只需函数满足：定义域关于原点对称．$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，即可；
（2）?x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，判定f（x₁）-f（x₂）的符号即可；
（3）根据函数的单调性求出最值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称．
又$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，所以函数f（x）为奇函数．----------------（3分）
（2）函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
?x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}）$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即∴f（x₁）＜f（x₂）所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．----------------------（6分）
（3）由于f（x）为奇函数，且f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[-5，-3]上单调递增．
 所以f（x）的最大值为$f（-3）=-3+\frac{1}{-3}=-\frac{10}{3}$，f（x）的最小值为$f（-5）=-5+\frac{1}{-5}=-\frac{26}{5}$---------------------------（9分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、定义法证明单调性、最值，属于基础题．