Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点． （Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M． ∵点F为PD中点，
∴ ．
∵点E为AB的中点．
∴ ，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF平面PEC，EM平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（ ，0，0），
A（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0）．
所以： ， ．
设平面PAB的一个法向量为： ，．
∵ ，
则： ，
解得： ，
所以平面PAB的法向量为：
∵ ，
∴设向量 和 的夹角为θ，
∴cosθ= ，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．