Question

【题目】已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x﹣1|＜4 或 或 ，
解得：﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x≤1或1＜x＜2，
故不等式的解集为（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，
∴f（x）min=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号，
而不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解|a﹣1|＞f（x）min=2，
又|a﹣1|＞2a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2
故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，问题转化为|a﹣1|＞f（x）min ， 求出a的范围即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．